Tytuł oryginału: Applied Mathematics

Rada Naukowa serii Krótkie Wprowadzenie

Jerzy Gajdka, Ewa Gajewska, Krystyna Kujawińska Courtney

Aneta Pawłowska, Piotr Stalmaszczyk

Redaktorzy inicjujący serii Krótkie Wprowadzenie

Urszula Dzieciątkowska, Agnieszka Kałowska-Majchrowicz, Monika Borowczyk

Tłumaczenie

Iwona Konarzewska

Opracowanie redakcyjne

Damian Szandecki

Skład i łamanie

Munda – Maciej Torz

Korekta techniczna

Katarzyna Woźniak

Projekt okładki

Monika Rawska

Applied Mathematics: A Very Short Introduction was originally published in English in 2018. This translation is published by arrangement with Oxford University Press. Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego is responsible for this translation from the original work and Oxford University Press shall have no liability for any errors, omissions or inaccuracies or ambiguities in such translation or for any losses caused by reliance thereon.

© Alain Goriely, 2018

The moral rights of the author have been asserted

© Copyright for this edition by Uniwersytet Łódzki, Łódź 2024

© Copyright for Polish translation by Iwona Konarzewska, Łódź 2024

https://doi.org/10.18778/8331-571-3

Publikacja sfinansowana ze środków Wydawnictwa Uniwersytetu Łódzkiego

Wydane przez Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego

Wydanie I. W.11312.24.0.M

Ark. wyd. 6; ark. druk. 10

ISBN Oxford University Press 978-0-19-875404-6

ISBN 978-83-8331-571-3

e-ISBN 978-83-8331-572-0

Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego

90-237 Łódź, ul. Jana Matejki 34A

www.wydawnictwo.uni.lodz.pl

e-mail: ksiegarnia@uni.lodz.pl

tel. 42 635 55 77

Spis treści

Wstęp

Podziękowania

Spis ilustracji

1. Co jest takiego zabawnego w matematyce stosowanej? Modelowanie, teoria i metody

2. Chcesz poznać sekret? Indyki, olbrzymy i bomby atomowe

3. Czy wierzysz w modele? Prostota i złożoność

4. Czy znasz sposoby rozwiązywania równań? Bączki i chaotyczne króliki

5. Jaka jest częstotliwość, Kenneth? Fale, trzęsienia i solitony

6. Czy możesz to sobie wyobrazić? Promieniowanie rentgenowskie, DNA i zdjęcia

7. Matematyka – do czego może się przydać? Kwaterniony, węzły i więcej o DNA

8. Dokąd zmierzamy? Sieci i mózg

Epilog

Dalsza lektura

Indeks

Wstęp

Zanim zaczynam mówić, mam coś ważnego do powiedzenia.

Groucho[1] (przypisane)

Kiedy na przyjęciu poznajesz nowych ludzi, zwyczajowo, choć niezbyt to uprzejme, pytają, czym się ktoś zajmuje. Gdy pytają o to mnie, zwykle mamroczę, że jestem doktorem, ale nie takim prawdziwym, tylko akademickim. Pytany dalej przyznaję, że jestem matematykiem, ale nie takim prawdziwym, tylko stosowanym. Następnie pojawia się straszne pytanie: czym jest matematyka stosowana? W desperacji używam jednego ze zwyczajowych dowcipnych frazesów („To jest jak matematyka, ale przydatna i zabawniejsza”, „Jesteśmy ludźmi towarzyskimi, patrzymy na buty innych ludzi”, „Matematyka stosowana jest wobec czystej matematyki tym, czym muzyka pop jest dla muzyki klasycznej”). Po niezręcznej pauzie, która podsumowuje większość moich interakcji z ludźmi, szukam najbliższego wyjścia, przekonany, że w przypadku dalszego kontaktu nieuchronnie pogłębi się mój kryzys egzystencjalny. Wychodząc, pytam sam siebie, czy mógłbym naprawdę szczerze wypowiedzieć się na temat swojego kierunku studiów, który stał się także moim sposobem na życie. Dlaczego matematyka stosowana jest tak odmienna od dyscyplin naukowych i tak wyraźnie różni się od czystej matematyki? Jak mógłbym wyjaśnić ciągłe podekscytowanie i radość, jakie wnosi ona do mojego życia intelektualnego?

Decyzja o napisaniu krótkiego wprowadzenia do matematyki stosowanej jest próbą odpowiedzi na jedno pytanie: czym jest matematyka stosowana? Zamiast podawania encyklopedycznego opisu moim celem jest ukazanie problemów, z którymi na co dzień borykają się matematycy stosowani, oraz tego, w jaki sposób kształtują oni swoje poglądy na świat. W większości przypadków wykorzystuję perspektywę historyczną, aby opowiedzieć historię o tym, jak pewne problemy naukowe lub matematyczne przekształcają się w nowoczesne teorie matematyczne i jak teorie te są nadal aktywnymi obszarami badań, w których znajdują się nierozwiązane wyzwania.

Nie można uniknąć wprowadzenia kilku równań matematycznych. Zawsze jest to ryzykowne, ale nie przepraszam za to. Trudno oczekiwać, że otworzysz książkę o literaturze francuskiej i nie znajdziesz tam kilku francuskich słów. Równania są językiem matematyki. We właściwym kontekście podsumowują one zwięźle proste, oczywiste prawdy. Czytelnik niezaznajomiony z takimi wyrażeniami nie powinien się zbytnio martwić i może spokojnie pominąć fragmenty o charakterze technicznym. Równania zostały uwzględnione, ponieważ ich brak uczyniłby je obiektami mitycznymi, a przywołanie ich bez wyraźnej wzmianki graniczyłoby z ezoteryzmem.

Kiedy zaczynałem pisać tę książkę, wciąż miałem nadzieję, że uda mi się przekonać moich synów do studiowania matematyki stosowanej. Jak mogliby oprzeć się presji doskonałej argumentacji, tak pięknie zilustrowanej przez tak wiele przykładów? Udało mi się, z pewnością, przekonać samego siebie, że matematyka stosowana jest rzeczywiście królową wszystkich nauk. Stało się jednak jasne, że synowie raczej nie pójdą w moje ślady i że zmuszanie ich do czytania mojej twórczości jest formą okrutnej i niecodziennej kary. Aczkolwiek nie straciłem nadziei, że inni czytelnicy o skłonnościach matematycznych, poznawszy ten temat, będą oczarowani jego nieskończonymi możliwościami. W matematyce drzemie wielkie piękno, podobnie jak w otaczającym nas świecie. Matematyka stosowana łączy te dwie rzeczy w sposób, który nie zawsze jest piękny, ale zawsze interesujący i ekscytujący.

Playlista

Czysta matematyka jest często kojarzona z muzyką klasyczną ze względu na jej piękno i konstrukcję. Kiedy pracuję, zwykle słucham muzyki klasycznej, ale kiedy piszę, wolę coś, co daje więcej energii i zabawy. Oto kilka sugestii, które w sposób naturalny kojarzą się z tą książką:

Should I Stay or Should I Go? (The Clash),

(What’s So Funny ‘Bout) Peace, Love, and Understanding (Elvis Costello),

Do You Want to Know a Secret? (The Beatles),

Do You Believe in Magic? (The Lovin’ Spoonful),

Do you Know the Way to San Jose? (Dionne Warwick),

What’s the Frequency, Kenneth? (R.E.M.),

Can you Picture That? (Dr Teeth and the Electric Mayhem),

War (What Is It Good For?) (Edwin Starr),

Where Are We Going? (Marvin Gaye),

Can You Please Crawl Out Your Window? (Bob Dylan).

Oksford, Wielka Brytania

maj 2017

Podziękowania

Za powstanie tej książki obwiniam głównie Dyrola Lumbarda. Nigdy nie przyszło mi do głowy, żeby ją napisać, i nie miałem szczególnej ochoty tego robić, dopóki nie wykręcił mi ręki i nie powiedział, że mogłoby mi się to naprawdę spodobać. Chciałbym móc powiedzieć, że się mylił. Patrząc wstecz, cieszę się, że wypchnął mnie ze strefy komfortu. Jestem bardzo wdzięczny wielu kolegom i przyjaciołom za przeczytanie i skomentowanie wcześniejszych wersji tej książki. Są to: Michel Destrade, Nita Goriely, Thomas Lessinnes, Angela Mihai, Derek Moulton, Nick Trefethen, Dominic Vella i John Wettlaufer. Korzystam również z okazji, aby podziękować dobrym ludziom z Oxford University Press (Joy Mellor, Latha Menon i Jenny Nugee) za ich pracę związaną z publikacją tego Krótkiego Wprowadzenia.

Spis ilustracji

1. Faraday i jego wykłady

Dostarczone przez BritishNotes.co.uk

2. Eksperymenty ze świecami

Dane z: Alwyn Scott, Encyclopedia of Nonlinear Science (Routledge, 2004)

3. Drugi model rozprzestrzeniania się płomienia

4. Czas gotowania względem masy różnych rodzajów drobiu na wykresie log-log

Dane i liczby dzięki uprzejmości Lydii i Dominica Vella

5. Nieprawdopodobne olbrzymy z Mundus Subterraneus autorstwa Athanasiusa Kirchera (1678)

INTERFOTO / Alamy Stock Photo

6. Szybkie zdjęcie eksplozji testowej Trinity

7. Złożoność modelu pokazująca kompromis pomiędzy rozmiarami modelu, jego wnikliwością i mocą predykcyjną

8. Prawa ruchu planet Keplera

9. Paradygmat fizyki

10. Jak faktycznie przebiega modelowanie?

11. Bączek Lagrange’a to wirujący bączek o ustalonym punkcie podparcia na podłożu

12. Oscylacje w modelu ewolucji ofiary–drapieżnika Lotka–Volterra

13. Chaotyczny atraktor dla trójwymiarowych równań Lotka–Volterra

14. Trybem podstawowym drgającej struny jest prosta oscylacja z jedną częstotliwością

15. Harmoniczny tryb podstawowy drgającej struny

16. Przykład rozwiązania d’Alemberta

17. Sejsmiczne fale P przemieszczają się przez płaszcz Ziemi

18. Zazwyczaj fale odczuwają efekt dyspersji

19. Dwa solitony w interakcji96

20. Klasyfikacja pudełkowa matematyki stosowanej

21. Tradycyjna rentgenografia

22. Tomografia komputerowa (CT)

Du Cane Medical Imaging LTD / Science Source

23. Krystalografia rentgenowska

24. Krystalografia rentgenowska helis i DNA

Dostarczone przez: The Archives at King’s College, London

25. Obrazy cyfrowe to tablice liczb

26. Kompresja JPEG

27. Falki

28. Kompresja falkowa

Time Life Pictures / Mansell / The LIFE Picture Collection / Getty Images

29. W skanerach MRI (rezonansu magnetycznego) stosuje się wykrywanie skompresowane

30. Liczby zespolone

31. Gimbal

32. Tabela głównych węzłów

33. Węzeł kwadratowy

34. Operacja chirurgiczna na węzłach

35. Problem sprawdzania trywialności węzła

36. Działanie topoizomerazy 1 na DNA

37. Działanie resolwazy Tn3

Rysunek zaadaptowany z fig. 14 w: N.R. Cozarelli, M.A. Krasnow, S.P. Gerrard, J.H. White, A Topological Treatment of Recombination and Topoisomerases, „Cold Spring Harbor Symposia on Quantitative Biology” 1984, 49, s. 383–400. Copyright: Cold Spring Harbor Laboratory Press

38. Sieć powiązań rodzinnych

39. Macierze i sieci

40. Efekt małego świata

41. Sieć linii lotniczych

Jpatokal, CC BY-SA 3.0

42. Sieć mózgowa

Przedruk z: K.E. Stephan, C.C. Hilgetag, M.A. O’Neill, M.P. Young, R. Kotter, Computational Analysis of Functional Connectivity Between Areas of Primate Cortex, „Philosophical Transaction of the Royal Society of London B Biological Sciences” 2000, 355(1393), s. 111–126. Za zgodą Royal Society

43. Pofałdowanie mózgu

Dzięki uprzejmości Ellen Kuhl, Stanford University

44. Mózgi ssaków

Przedruk z: A. Goriely, S. Budday, E. Kuhl, Advances in Applied Mechanics, „Neuromechanics: From Neurons to Brain” 2015, 48, s. 79–139. Za zgodą Elsevier

Rozdział 1

Co jest takiego zabawnego w matematyce stosowanej? Modelowanie, teoria i metody

Proszę przyjąć moją rezygnację. Nie chcę należeć do żadnego klubu, który przyjmie mnie jako członka.

Groucho

Współczesny świat matematyki podzielony jest na różne kategorie. Jeśli masz tyle szczęścia, że spotkasz prawdziwych matematyków i nawiążesz z nimi rozmowę, zazwyczaj powiedzą ci, że są matematykami albo matematykami stosowanymi. Prawdopodobnie słyszałeś o matematyce, ale czym jest matematyka stosowana? Szybki przegląd Internetu dostarczy ci sprzecznych definicji. Ujawni także, że matematyka stosowana znalazła swoje miejsce we współczesnym środowisku akademickim. Jako taka jest uznawana przez międzynarodowe towarzystwa naukowe, czasopisma i konferencje. Co jest takiego specjalnego w matematyce stosowanej? Czym różni się ona od matematyki lub jakiejkolwiek innej dyscypliny naukowej?

Matematyka

Zacznijmy od samej matematyki. Podczas gdy filozofowie wciąż zastanawiają się nad jej najlepszą definicją, większość naukowców i matematyków zgadza się, że współczesna matematyka to dyscyplina intelektualna, której celem jest badanie wyidealizowanych obiektów i ich relacji na podstawie logiki formalnej. Matematyka wyróżnia się na tle dyscyplin naukowych tym, że nie jest ograniczona rzeczywistością. Działa wyłącznie dzięki logice i ogranicza ją jedynie nasza wyobraźnia. Rzeczywiście, gdy struktury i operacje zostaną zdefiniowane w kontekście formalnym, możliwości są nieograniczone. Można o tym myśleć jak o grze o bardzo precyzyjnych zasadach, po których ustaleniu rozpoczyna się rozgrywka polegająca na udowodnieniu lub obaleniu twierdzenia.

Matematycy od tysiącleci interesują się liczbami. Skupmy się na liczbach naturalnych (0, 1, 2, …) i znanej operacji mnożenia (×). Jeśli weźmiemy razem dwie liczby p i q, otrzymamy trzecią jako n = p × q. Powstaje proste pytanie o wykonanie operacji odwrotnej: czy możemy, mając liczbę n, znaleźć dwie liczby p i q takie, że n = p × q? Odpowiedź jest prosta: oczywiście! Weź p = 1 i q = n. Jeśli jest to jedyny możliwy sposób zapisania liczby naturalnej n większej niż 1 jako iloczynu dwóch liczb, wówczas n nazywa się liczbą pierwszą. Matematycy uwielbiają liczby pierwsze i ich wspaniałe, a często zaskakujące właściwości. Możemy teraz spróbować udowodnić lub obalić twierdzenia na temat tych liczb. Zacznijmy od najprostszych. Możemy udowodnić istnienie liczb pierwszych, pokazując, że liczby naturalne 2, 3 i 5 mają wszystkie wymagane właściwości, aby być liczbami pierwszymi, a następnie obalić naiwne twierdzenie, zgodnie z którym wszystkie liczby nieparzyste są pierwsze, pokazując, że 9 = 3 × 3. Bardziej interesującym twierdzeniem jest to, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Po raz pierwszy zostało to zbadane około 300 roku p.n.e. przez Euklidesa, który wykazał, że zawsze można skonstruować nowe, większe liczby pierwsze z listy wszystkich znanych liczb pierwszych aż do pewnej wartości. W miarę jak konstruujemy nowe liczby pierwsze, ich lista wydłuża się w nieskończoność. Liczby pierwsze mają piękne właściwości i odgrywają kluczową rolę w teorii liczb i czystej matematyce. Matematycy wciąż próbują ustalić proste relacje między nimi. Na przykład większość matematyków wierzy, że istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych, które różnią się o 2, co jest tak zwanym przypuszczeniem o liczbach pierwszych bliźniaczych (przypuszczenie uważane jest za prawdziwe, ale pozostaje wciąż niepotwierdzone). Chociażby pary (5, 7), (11, 13) i (18 369 287, 18 369 289) są parami liczb pierwszych różniących się o 2, i takich par jest znanych znacznie więcej. Palącym pytaniem jest: czy istnieje nieskończenie wiele takich par? Matematycy rzeczywiście wierzą, że tak jest, ale wykazanie tej pozornie prostej właściwości okazuje się na tyle trudne, że nie została ona jeszcze ani udowodniona, ani obalona. Jednakże niedawno, w chwili pisania tego tekstu, nastąpił przełom. Ustalono, że istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych różniących się o 246. Wynik ten wstrząsnął środowiskiem matematycznym; we współczesnej matematyce temat ten jest żywo dyskutowany.

Poprzez stulecia formalizacji i uogólnień matematyka przekształciła się w ujednoliconą dziedzinę o przejrzystych zasadach. Reguły były systematycznie kodyfikowane poprzez wprowadzanie pojęć formalnych, takich jak: definicja, aksjomat, wniosek, lemat, twierdzenie i przypuszczenie. Te z kolei są wytycznymi, dzięki którym prawdziwość tez można systematycznie, krok po kroku, weryfikować – jeśli wystarczy czasu i cierpliwości. Obecnie matematyka jawi się jako dobrze zorganizowana dyscyplina z dobrze zdefiniowanymi subdyscyplinami, z których niektóre mogą mieć nawet znajome nazwy. Przykładowo teoria liczb, algebra i geometria są akceptowanymi gałęziami matematyki. Matematykę czasami nazywa się czystą matematyką, aby jeszcze bardziej podkreślić jej eteryczną jakość. Czysta matematyka króluje w panteonie ludzkich konstrukcji intelektualnych od ponad dwóch tysięcy lat. Jak powiedział grecki filozof Arystoteles: „Nauki matematyczne charakteryzują się szczególnie porządkiem, symetrią i ograniczeniami; i są to najwyższe formy piękna”.

1. [1] Właściwie Julius Henry Marx (1890–1977) – amerykański aktor komediowy [wszystkie przypisy pochodzą od tłumaczki].